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Dato che molti modellatori free-form non sono sufficientemente accurati per la produzione industriale e l’analisi ingegneristica e visto che Rhino è un modellatore free-form, molte persone ritengono lecito considerare Rhino poco accurato per le loro applicazioni.
Di fatto, Rhino è tanto preciso quanto i più diffusi programmi CAD, se non di più.
Ecco alcuni dettagli:
Esistono due metodi comuni in cui salvare i modelli 3D in un computer.
Il primo metodo consiste nell’usare le mesh, normalmente usate per il rendering, l’animazione o il design concettuale. I modellatori di mesh sembrano far uso di tecniche precise per la creazione di modelli quali sfere, parallelepipedi, spline o persino NURBS, ma in realtà alla fine convertono tutto in una mesh. Le mesh sono intrinsecamente poco precise, dato che non sono altro che una collezione di triangoli piani. Un modellatore di mesh rappresenta con dei triangoli piani anche le superfici curve. Questa metodologia funziona nella maggior parte dei rendering, delle animazioni e dei giochi, ma non per la produzione industriale. Da notare che, anche se molti processi di fabbricazione usano le mesh, per ottenere la precisione desiderata, la densità delle mesh deve essere controllata dalle applicazioni usate per la fabbricazione. Rhino non utilizza le mesh per la modellazione, tuttavia, è in grado di convertire le NURBS in mesh con qualsiasi densità per l’esportazione di file o il rendering.
Il secondo metodo si avvale delle NURBS. La maggior parte dei modellatori CAD, CAM, CAE e CAID, compreso Rhino, rappresentano le forme free-form mediante NURBS. Se l’implementazione delle NURBS è accurata, i prodotti che usano le NURBS possono potenzialmente rappresentare qualsiasi forma free-form con la precisione richiesta dall’applicazione più esigente. Se l’obiettivo principale di un’applicazione è la progettazione meccanica e non la creazione di forme free-form, è possibile che l’implementazione delle NURBS non sia sufficientemente potente per la modellazione free-form. Ciò è tipico degli attualmente molto popolari modellatori di solidi parametrici basati su feature di gamma media.
Dato che il principale obiettivo di Rhino è la modellazione free-from mediante NURBS, l’implementazione di queste ultime è una delle più potenti attualmente disponibili. Di seguito, alcune considerazioni che possono aiutare l’utente a valutare se un modellatore è sufficientemente accurato o meno per la propria applicazione:
Posizione. Rhino, come molti altri prodotti CAD, rappresenta la posizione con numeri in virgola mobile a doppia precisione. Ciò significa che le coordinate x, y e z di qualsiasi punto possono assumere valori che spaziano da ±10308 a ±10-308.
A causa della limitazione della tecnologia informatica attuale, ci si aspetta che i calcoli siano accurati entro 15 cifre di precisione in un intervallo compreso tra ±1020 e ±10-20. Questa limitazione si trova in tutti i prodotti CAD moderni.
Prodotti CAD più obsoleti presentano ulteriori limitazioni, dato che sono stati sviluppati originariamente per essere eseguiti su computer meno precisi. Per esempio, molti modellatori CAD sono stati ideati per eseguire calcoli su geometrie limitate da un parallelepipedo con un volume pari a 1000x1000x1000 metri cubi, centrato sull’origine. (Attenzione: un altro popolare kernel di modellazione reperibile sul mercato richiede parametrizzazioni che si trovano entro un fattore 10 dall’essere parametrizzazioni secondo la lunghezza d’arco). Rhino non presenta nessuna delle limitazioni trovate in questi prodotti.
Intersezioni. In Rhino, quando due superfici free-form si intersecano, la curva d’intersezione risultante viene calcolata rispetto alla precisione specificata dall’utente. La precisione predefinita di Rhino (tolleranza) è pari a 1/100 di millimetro. Molti sistemi CAD si basano su valori di tolleranza che non possono essere modificati.
Se si esamina attentamente la geometria che altri modellatori generano da intersezioni di superfici free-form, dalla creazione di raccordi fillet free-form e da offset di superfici free-form, si scoprirà che tale geometria free-form di fatto è calcolata con una precisione compresa tra 10-2 e 10-4 metri, nonostante sia riportato che la precisione è dell’ordine di 10-8 (senza considerare che le unità sono un metri).
Continuità (variazioni di curvatura combinate lungo una giunzione). La maggior parte dei prodotti CAD non possiede degli strumenti per far corrispondere la curvatura in una giunzione e lascia questo compito all’utente. Se l’applicazione in uso richiede superfici free-form smussate, quali profili alari, alette idrodinamiche, lenti o superfici riflettenti, diventano necessari tutti quegli strumenti che sono disponibili solo in Rhino o in modellatori di superfici di fascia alta quali CATIA o Alias.
Altri fattori da considerare:
Unità. In Rhino l’utente può specificare le unità di misura desiderate. Se le unità di misura vengono cambiate, tutti i calcoli saranno eseguiti in tali unità. In molti prodotti CAD, le unità sono solo un attributo di visualizzazione. Nonostante si specifichino, ad esempio, i millimetri, tutti i calcoli vengono di fatto eseguiti in metri.
Modifica delle unità di misura. La modifica o la conversione delle unità di misura può rappresentare uno dei problemi di precisione più comunemente trascurati da molti sistemi CAD/CAM. Molti di noi possono pensare che passare dalle unità di misura imperiali a quelle metriche possa introdurre delle imprecisioni che invece non si hanno quando si passa dai millimetri ai centimetri. Perché? Perché pensiamo in unità di misura decimali. Il sistema è a base binaria e non base a 10. Ciò significa che sono necessarie una o più divisioni o moltiplicazioni per numeri in virgola mobile per passare dai millimetri ai centimetri. Le imprecisioni introdotte dalla conversione da millimetri a centimetri sono le stesse di quelle introdotte dalla conversione da millimetri a pollici.
Riassumendo, Rhino è tanto preciso quanto qualsiasi altro prodotto CAD attualmente disponibile sul mercato, se non di più. In aggiunta, Rhino fornisce una serie di strumenti generalmente assenti nella maggior parte dei prodotti CAD: strumenti per impostare la precisione e le unità di misura, e strumenti per la verifica e la valutazione della continuità.
Le NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) sono delle rappresentazioni matematiche della geometria 3D, le quali definiscono accuratamente qualunque forma: da una semplice linea, ad un cerchio, un arco o una curva, fino al più complesso solido o superficie a forma libera o organica 3D. Grazie alla loro accuratezza e flessibilità, i modelli NURBS possono essere usati nei più svariati processi, dalle illustrazioni ed animazioni sino alla fabbricazione.
Le geometrie NURBS hanno cinque importanti caratteristiche che le rendono una scelta ideale per la modellazione assistita da computer.
Esistono svariate soluzioni basate su standard industriali in grado di scambiare geometrie NURBS. Ciò consente ad un gran numero di utenti di poter intercambiare i loro modelli geometrici tra i vari programmi di modellazione, rendering, animazione ed analisi ingegneristica. Le informazioni memorizzate sulle geometrie possono essere riutilizzate in futuro.
Le NURBS hanno una definizione precisa e ben nota. I principii matematici ed informatici delle geometrie NURBS vengono insegnati nelle maggiori università. Ciò significa che i produttori di software specialistici, i team ingegneristici, gli studi di design industriale e le case di animazione che hanno bisogno di realizzare delle applicazioni personalizzate possono trovare facilmente dei programmatori preparati in grado di lavorare con le geometrie NURBS.
Le NURBS possono rappresentare accuratamente sia oggetti geometrici standard (come linee, cerchi, ellissi, sfere o toroidi), che geometrie free-form, quali carrozzerie per automobili o corpi umani.
La quantità di informazioni richiesta per la rappresentazione NURBS di un elemento geometrico è di gran lunga inferiore alla quantità di informazioni necessaria per rappresentare la stessa geometria tramite approssimazioni mesh.
La regola di stima di una NURBS, discussa di seguito, può essere implementata su un computer in modo efficiente ed accurato.
Che cos’è una geometria NURBS?
Curve e superfici NURBS si comportano in modo analogo, per cui la terminologia tecnica ad esse relative è pressoché la stessa. Visto che le curve sono più semplici da trattare, ci soffermeremo dettagliatamente su di esse. Una curva NURBS è definita da quattro caratteristiche: il grado, i punti di controllo, i nodi e la regola di stima.
Grado
Il grado è un numero intero positivo.
Di solito vale 1, 2, 3 o 5, anche se può essere qualunque numero intero. Di solito, le linee e le polilinee NURBS hanno grado 1, i cerchi NURBS hanno grado 2 e la maggior parte delle curve free-form ha grado 3 o 5. Invece di indicare il grado della curva con il rispettivo numero, si possono usare i termini lineare, quadratico, cubico e quintico. Lineare significa di grado 1, quadratico significa di grado 2, cubico significa di grado 3 e quintico significa di grado 5.
A volte, si può far riferimento all’ordine di una curva NURBS. L’ordine di una curva NURBS è un numero intero positivo pari a (grado+1). Di conseguenza, il grado corrisponde a (ordine-1).
È possibile aumentare il grado di una curva NURBS senza cambiarne la forma. In genere, non è invece possibile ridurre il grado di una curva NURBS senza modificarne la forma.
Punti di controllo
I punti di controllo sono una fila di punti in numero almeno pari a (grado+1).
Uno dei modi più semplici per modificare la forma di una curva NURBS consiste nel variare la posizione dei suoi punti di controllo.
Ad ogni punto di controllo è associato un peso (ovvero, la sua capacità di attrarre la curva). Tranne che per alcune eccezioni, i pesi sono numeri positivi. Quando i punti di controllo di una curva hanno tutti lo stesso peso (di solito 1), la curva viene denominata “non razionale”. In caso contrario, è detta razionale. La lettera R dell’acronimo NURBS sta per “razionale” ed indica che una curva NURBS può essere razionale. Nella pratica, la maggior parte delle curve NURBS sono non razionali. Alcune curve NURBS (cerchi ed ellissi ne sono un chiaro esempio) sono sempre razionali.
Nodi
I nodi sono una fila di numeri pari a (grado+N-1), ove N rappresenta il numero di punti di controllo. Questa sequenza di numeri che precisa la definizione parametrica della curva è detta anche “vettore dei nodi”. In questo contesto, il termine vettore non sta a significare una direzione 3D.
La sequenza di numeri dei nodi deve soddisfare diverse condizioni tecniche. Di norma, per assicurarsi che queste condizioni tecniche siano soddisfatte, si richiede che i numeri siano gli stessi o maggiori man mano che si procede verso la fine della lista e si limita il numero di valori ripetuti ad un numero non maggiore del grado. Per esempio, per una curva NURBS di grado 3 con 11 punti di controllo, la sequenza 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 è una sequenza di nodi soddisfacente. La sequenza 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 non è invece accettabile perché sono presenti quattro numeri “2” e “4” è maggiore del grado della curva in esame (3).
Il numero di volte in cui il valore di un nodo si ripete è detto “molteplicità del nodo”. Nella sequenza di nodi soddisfacente riportata in precedenza (0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9), il valore del nodo 0 ha molteplicità 3, il valore del nodo 1 ha molteplicità 1, il valore del nodo 2 ha molteplicità 3, il valore del nodo 7 ha molteplicità 2 ed il valore del nodo 9 ha molteplicità 3. Si dice che un nodo ha molteplicità piena se il suo valore si ripete tante volte quante il grado. Nell’esempio, i valori dei nodi 0, 2 e 9 hanno molteplicità piena. Il valore di un nodo che figura una volta sola è detto nodo semplice. Nell’esempio, i valori dei nodi 1 e 3 sono nodi semplici.
Se una sequenza di nodi inizia con un nodo a molteplicità piena, segue con dei nodi semplici, termina con un nodo a molteplicità piena e tutti i valori sono ugualmente spaziati, i suoi nodi sono detti uniformi. Per esempio, se una curva NURBS di grado 3 con 7 punti di controllo ha una sequenza 0,0,0,1,2,3,4,4,4, i suoi nodi saranno uniformi. I nodi della sequenza 0,0,0,1,2,5,6,6,6, per esempio, non saranno invece uniformi. I nodi senza uniformità si dicono appunto non uniformi. Le lettere N ed U dell’acronimo NURBS stanno per “non uniformi” ed indicano che i nodi di una curva NURBS possono essere non uniformi.
Valori di nodo ripetuti all’interno di una sequenza di nodi rendono la curva NURBS meno smussata. Un nodo a molteplicità piena nel mezzo di una sequenza di nodi indica che c’è una zona nella curva NURBS che può essere associata ad una discontinuità. Per questa ragione, alcuni designer preferiscono aggiungere e rimuovere i nodi e quindi regolare i punti di controllo per ottenere delle curve dalle forme più smussate o più spigolose. Poiché il numero dei nodi è pari a (N+grado-1), in cui N è il numero di punti di controllo, l’aggiunta di nodi comporta l’aggiunta di punti di controllo, così come la loro rimozione implica la rimozione di punti di controllo. È possibile inserire dei nodi in un curva NURBS senza cambiarne la forma. La rimozione di nodi, in genere, cambia invece la forma di una curva.
Nodi e punti di controllo
Un comune malinteso è dato dal fatto di accoppiare ciascun nodo con un punto di controllo. Ciò è vero solo per le NURBS di grado 1 (polilinee). Per NURBS di grado maggiore, sono presenti gruppi di (2 X grado) nodi che corrispondono a gruppi di (grado+1) punti di controllo. Per esempio, si supponga di avere una NURBS di grado 3 con 7 punti di controllo e nodi 0,0,0,1,2,5,8,8,8. I primi quattro punti di controllo sono raggruppati con i primi sei nodi. I punti di controllo dal secondo al quinto sono raggruppati con i nodi 0,0,1,2,5,8. I punti di controllo dal terzo al sesto sono raggruppati con i nodi 0,1,2,5,8,8. Gli ultimi quattro punti di controllo sono raggruppati con gli ultimi sei nodi.
Alcuni modellatori usano obsoleti algoritmi per la stima di una NURBS e richiedono due ulteriori valori di nodo per un totale di (grado+N+1) nodi. Durante l’esportazione o importazione di una geometria NURBS, Rhino inserisce o rimuove automaticamente questi due nodi superflui a seconda del caso.
Regola di stima
La regola di stima di una curva è una formula matematica che assegna un numero ad un punto.
La regola di stima NURBS è una formula che riguarda il grado, i punti di controllo ed i nodi. Essa calcola le cosiddette funzioni base B-spline. Le lettere BS nell’acronimo NURBS stanno per “basis spline.” Il numero con il quale si avvia la regola di stima è detto “parametro”. Possiamo pensare alla regola di stima come ad una “scatola nera” che riceve un parametro e genera la posizione di un punto. Il grado, i nodi ed i punti di controllo determinano il modo in cui lavora questa “scatola nera”.
Le NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) sono delle rappresentazioni matematiche della geometria 3D, le quali definiscono accuratamente qualunque forma: da una semplice linea, ad un cerchio, un arco o una curva, fino al più complesso solido o superficie a forma libera o organica 3D. Grazie alla loro accuratezza e flessibilità, i modelli NURBS possono essere usati nei più svariati processi, dalle illustrazioni ed animazioni sino alla fabbricazione.
Le geometrie NURBS hanno cinque importanti caratteristiche che le rendono una scelta ideale per la modellazione assistita da computer.
Esistono svariate soluzioni basate su standard industriali in grado di scambiare geometrie NURBS. Ciò consente ad un gran numero di utenti di poter intercambiare i loro modelli geometrici tra i vari programmi di modellazione, rendering, animazione ed analisi ingegneristica. Le informazioni memorizzate sulle geometrie possono essere riutilizzate in futuro.
Le NURBS hanno una definizione precisa e ben nota. I principii matematici ed informatici delle geometrie NURBS vengono insegnati nelle maggiori università. Ciò significa che i produttori di software specialistici, i team ingegneristici, gli studi di design industriale e le case di animazione che hanno bisogno di realizzare delle applicazioni personalizzate possono trovare facilmente dei programmatori preparati in grado di lavorare con le geometrie NURBS.
Le NURBS possono rappresentare accuratamente sia oggetti geometrici standard (come linee, cerchi, ellissi, sfere o toroidi), che geometrie free-form, quali carrozzerie per automobili o corpi umani.
La quantità di informazioni richiesta per la rappresentazione NURBS di un elemento geometrico è di gran lunga inferiore alla quantità di informazioni necessaria per rappresentare la stessa geometria tramite approssimazioni mesh.
La regola di stima di una NURBS, discussa di seguito, può essere implementata su un computer in modo efficiente ed accurato.
Che cos’è una geometria NURBS?
Curve e superfici NURBS si comportano in modo analogo, per cui la terminologia tecnica ad esse relative è pressoché la stessa. Visto che le curve sono più semplici da trattare, ci soffermeremo dettagliatamente su di esse. Una curva NURBS è definita da quattro caratteristiche: il grado, i punti di controllo, i nodi e la regola di stima.
Grado
Il grado è un numero intero positivo.
Di solito vale 1, 2, 3 o 5, anche se può essere qualunque numero intero. Di solito, le linee e le polilinee NURBS hanno grado 1, i cerchi NURBS hanno grado 2 e la maggior parte delle curve free-form ha grado 3 o 5. Invece di indicare il grado della curva con il rispettivo numero, si possono usare i termini lineare, quadratico, cubico e quintico. Lineare significa di grado 1, quadratico significa di grado 2, cubico significa di grado 3 e quintico significa di grado 5.
A volte, si può far riferimento all’ordine di una curva NURBS. L’ordine di una curva NURBS è un numero intero positivo pari a (grado+1). Di conseguenza, il grado corrisponde a (ordine-1).
È possibile aumentare il grado di una curva NURBS senza cambiarne la forma. In genere, non è invece possibile ridurre il grado di una curva NURBS senza modificarne la forma.
Punti di controllo
I punti di controllo sono una fila di punti in numero almeno pari a (grado+1).
Uno dei modi più semplici per modificare la forma di una curva NURBS consiste nel variare la posizione dei suoi punti di controllo.
Ad ogni punto di controllo è associato un peso (ovvero, la sua capacità di attrarre la curva). Tranne che per alcune eccezioni, i pesi sono numeri positivi. Quando i punti di controllo di una curva hanno tutti lo stesso peso (di solito 1), la curva viene denominata “non razionale”. In caso contrario, è detta razionale. La lettera R dell’acronimo NURBS sta per “razionale” ed indica che una curva NURBS può essere razionale. Nella pratica, la maggior parte delle curve NURBS sono non razionali. Alcune curve NURBS (cerchi ed ellissi ne sono un chiaro esempio) sono sempre razionali.
Nodi
I nodi sono una fila di numeri pari a (grado+N-1), ove N rappresenta il numero di punti di controllo. Questa sequenza di numeri che precisa la definizione parametrica della curva è detta anche “vettore dei nodi”. In questo contesto, il termine vettore non sta a significare una direzione 3D.
La sequenza di numeri dei nodi deve soddisfare diverse condizioni tecniche. Di norma, per assicurarsi che queste condizioni tecniche siano soddisfatte, si richiede che i numeri siano gli stessi o maggiori man mano che si procede verso la fine della lista e si limita il numero di valori ripetuti ad un numero non maggiore del grado. Per esempio, per una curva NURBS di grado 3 con 11 punti di controllo, la sequenza 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 è una sequenza di nodi soddisfacente. La sequenza 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 non è invece accettabile perché sono presenti quattro numeri “2” e “4” è maggiore del grado della curva in esame (3).
Il numero di volte in cui il valore di un nodo si ripete è detto “molteplicità del nodo”. Nella sequenza di nodi soddisfacente riportata in precedenza (0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9), il valore del nodo 0 ha molteplicità 3, il valore del nodo 1 ha molteplicità 1, il valore del nodo 2 ha molteplicità 3, il valore del nodo 7 ha molteplicità 2 ed il valore del nodo 9 ha molteplicità 3. Si dice che un nodo ha molteplicità piena se il suo valore si ripete tante volte quante il grado. Nell’esempio, i valori dei nodi 0, 2 e 9 hanno molteplicità piena. Il valore di un nodo che figura una volta sola è detto nodo semplice. Nell’esempio, i valori dei nodi 1 e 3 sono nodi semplici.
Se una sequenza di nodi inizia con un nodo a molteplicità piena, segue con dei nodi semplici, termina con un nodo a molteplicità piena e tutti i valori sono ugualmente spaziati, i suoi nodi sono detti uniformi. Per esempio, se una curva NURBS di grado 3 con 7 punti di controllo ha una sequenza 0,0,0,1,2,3,4,4,4, i suoi nodi saranno uniformi. I nodi della sequenza 0,0,0,1,2,5,6,6,6, per esempio, non saranno invece uniformi. I nodi senza uniformità si dicono appunto non uniformi. Le lettere N ed U dell’acronimo NURBS stanno per “non uniformi” ed indicano che i nodi di una curva NURBS possono essere non uniformi.
Valori di nodo ripetuti all’interno di una sequenza di nodi rendono la curva NURBS meno smussata. Un nodo a molteplicità piena nel mezzo di una sequenza di nodi indica che c’è una zona nella curva NURBS che può essere associata ad una discontinuità. Per questa ragione, alcuni designer preferiscono aggiungere e rimuovere i nodi e quindi regolare i punti di controllo per ottenere delle curve dalle forme più smussate o più spigolose. Poiché il numero dei nodi è pari a (N+grado-1), in cui N è il numero di punti di controllo, l’aggiunta di nodi comporta l’aggiunta di punti di controllo, così come la loro rimozione implica la rimozione di punti di controllo. È possibile inserire dei nodi in un curva NURBS senza cambiarne la forma. La rimozione di nodi, in genere, cambia invece la forma di una curva.
Nodi e punti di controllo
Un comune malinteso è dato dal fatto di accoppiare ciascun nodo con un punto di controllo. Ciò è vero solo per le NURBS di grado 1 (polilinee). Per NURBS di grado maggiore, sono presenti gruppi di (2 X grado) nodi che corrispondono a gruppi di (grado+1) punti di controllo. Per esempio, si supponga di avere una NURBS di grado 3 con 7 punti di controllo e nodi 0,0,0,1,2,5,8,8,8. I primi quattro punti di controllo sono raggruppati con i primi sei nodi. I punti di controllo dal secondo al quinto sono raggruppati con i nodi 0,0,1,2,5,8. I punti di controllo dal terzo al sesto sono raggruppati con i nodi 0,1,2,5,8,8. Gli ultimi quattro punti di controllo sono raggruppati con gli ultimi sei nodi.
Alcuni modellatori usano obsoleti algoritmi per la stima di una NURBS e richiedono due ulteriori valori di nodo per un totale di (grado+N+1) nodi. Durante l’esportazione o importazione di una geometria NURBS, Rhino inserisce o rimuove automaticamente questi due nodi superflui a seconda del caso.
Regola di stima
La regola di stima di una curva è una formula matematica che assegna un numero ad un punto.
La regola di stima NURBS è una formula che riguarda il grado, i punti di controllo ed i nodi. Essa calcola le cosiddette funzioni base B-spline. Le lettere BS nell’acronimo NURBS stanno per “basis spline.” Il numero con il quale si avvia la regola di stima è detto “parametro”. Possiamo pensare alla regola di stima come ad una “scatola nera” che riceve un parametro e genera la posizione di un punto. Il grado, i nodi ed i punti di controllo determinano il modo in cui lavora questa “scatola nera”.